什么是数学

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。

类似于上述方框中加点的几何模型（如古代算盘），一直到中世纪的后期都被广泛地用在数值的计算上。从中世纪以后，它们才逐渐被建立在十进制上的更高级的符号方法所代替

在十进位系统中，数十，是单独选出作为基底的。一般人可能没认识到，并不一定非得选取十不可，任何一个大于一的正整数都可用来作基底。

对于科学方法来说，重要的是应放弃形而上学性质的因素，而去考虑那些可观测的事实，把它们作为概念和构作的最终根源，放弃对“自在之物”的领悟，对“终极真理”的认识以及关于世界的最终本质的阐明，这对于质朴的热诚者来说，可能会带来一种心理上的痛苦，但事实上它却是近代思想上最有成效的一种转变。

莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原象，他想象1表示上帝，而0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。

虽然希腊人曾经把点和线等几何概念作为他们的数学基础，但是，所有的数学命题最终应归结为关于自然数1，2，3，...的命题，这一点已变成了现代的指导原则。“上帝创造了自然数，其余的是人的工作。”在这句话中，克隆尼克指出了建立数学结构稳固基础的条件。

数学教学有时竟变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。

for any positive integers u and v with $v>u,$where u and v have no common factor and are not both add,yield all primitive Pythagorean number triples. *Exercise: Prove the last statement.

This belief in the axioms of Euclidean geometry as unalterable truths, existing in the realm of pure intuition, was one of the basic tenets of Kant's philosophy.

The situation here is precisely analogous to that which exists in physics, where the systems of Newton and Einstein give the same results for small distances and velocities, but diverge when very large magnitudes are involved.

以十为基底变成任何其他基底B的一般规则是，用B连续除以十为基底的整数z，所得的余数将是以B为基底的系统中的数码。

The infinite enters only in the unending procedure and not as an actual quantity. An irrational point is completely described by a sequence of nested rational intervals with lengths tending to zero.

We must either be content with the statement that this simple equation is not solvable, or follow the familiar path of extending our concept of number by introducing numbers that will make the equation solvable.

In the field of complex numbers there are exactly n different nth roots of 1. They're represented by the vertices of the regular n-sided polygon inscribed in the unit circle and having the point z=1 as one of its vertices.

至于点、线、数，“实际上”是什么，这不可能也不需要再数学科学中加以讨论，“可验证”的事实只是结构和关系：两点决定一直线，一些数按照某些规则组成其他一些数，等等。基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展中最重要的和最丰富的成果之一。

作为一个练习，读者可以证明：从以十为基底变成任何其它基底B的一般规则是，用B连续除以十为基底的整数z，所得的余数将是在以B为基底的系统中数码

以十为基底的用法要回溯到世界文明的初期，而且毋庸置疑这是由于人们用十个手指进行计算的缘故。但是在许多语言中，从数目字上来看，显示出曾经用过其他基底的遗迹，特别是十二和二十。在英文和德文中，11和12就不是按照十进位原则把数码和“十”（teens）组合在一起的，在语言上他们与十完全无关。在法文中20和80的写法是“廿”（vingt）和“四-廿”（quarte-vignt，四个二十），这可能由于某种目的曾经用过一个以20为基底的系统。

莱布尼茨（W.Leibniz）(1646-1716)是他那个时代最伟大的思想家之一，他十分欣赏二进制位。用拉普拉斯（Laplace）的话来说：“莱布尼茨在他的二进制位算术中看到了宇宙创始的原象。他想象1表示上帝，而0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。”

在自然科学中，“经验归纳法”是从对某个现象的一系列特殊的观测出发，知道表达成这现象每次发生时都服从的一般规律。这个规律的可信程度要依赖于观测的次数和证实的次数。这种归纳推理通常是完全令人信服的：预言太阳将从东方升起，这是完全肯定的事情。但这种命题的特点和用严格逻辑或数学推理来证明定理是不一样的。 数学归纳法是以一种很不同的方式来证明无穷序列情形都是正确的（第一个、第二个、第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

为了证明这样一个队每一个自然数n都成立的定理，只对n的前10个、前100个甚至前1000个值来证明是不够的。这种做法相当于经验归纳法。与此相反，我们必须用一个严格的数学的、非经验的推理方法。

就像接受简单的普通逻辑规则那样，我们将毫不犹豫地接受它，并把这作为数学推理的一个基本原则。因为这是我们能够证明任意命题An是正确的。这从给定论断b）A1是真开始，然后重复运用论断a）依次证明A2,A3，A4等等为真，一直到我们得到命题An为止。

其中有一个是有名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫（Goldbach，1690~1764）（除了1742年他在一封给欧拉的信中提出这个问题外，他在数学史上没什么地位）。

In French the words "vingt" and "quatre-vingt" for 20 and 80 suggest that for some purposes a system with base 20 might have been used.

Goldbach (1690-1764) has no significance in the history of mathematics except for this problem, which he proposed in 1742 in a letter to Euler.

1. a is congruent to b modulo d. 2. a=b+nd for some interger n. 3. d divides a-b.

基本的数学概念必须抽象化……

数学归纳法依赖于这样一个事实：任意一个自然数r都有一个后继的自然数r+1，而且我们所求的自然数n可以从1开始经过这样的有限步骤而达到。

“符号规则”以及负数、分数所服从的其它定义是不能加以“证明”的，它们是我们创造出来的，为的是在保持算数基本规律的条件下使运算能够自如。

无穷只意味着无穷尽的过程，而不是一个实际的量。

任何有理数的十进位小数表示式都是循环的