数学：确定性的丧失

一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经伫立了许多世纪。在城堡的地下室生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。

正如贝克莱所说的：“根深蒂固的偏见也常常会演变为原理，这些性质一旦获得了原理所具有的力量和声望，不仅它自身，而且由它推出的任何结论，都会无需验证而被人们接受。”

魏尔斯特拉斯的例子没有早出现是微积分发展史上的幸事，正如皮卡（Emile Picard）在1905年所说的那样：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。

1921年爱因斯坦给出了关于数学与物理世界的关系的精彩的叙述：“只要数学的命题是涉及实在的，它们就是不可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。……但是，另一方面，作为一般情况的数学和作为特殊情况中的几何，它们的存在是由于我们需要了解真实客体的一些性质。"

欧拉的宗教信仰是他确信，上帝赋予人类的使命是运用人类自身的才能去离家她的法则，自然之书已经打开展现在我们面前，但它是用一种我们一时半会不能理解的语言写成的，只有用毅力、热爱、坚忍和钻研才能读懂，这种语言便是数学。

数学中没有真理，即作为现实世界普适法则意义上的真理，算术和几何基本结构的公理是受经验启发得出的，因而这些结构的适用性是有限的，它们在哪里是适用的只能由经验来决定。

“这句话是不可证明的”。于是，如果这句话不可证明，那么它讲的是真的；相反，如果这句话可以证明，那么它为假。因此，当且仅当不可证明时这个陈述为真。这个结果没有矛盾，但却出现了一个不可判定的真陈述。

数学家康托尔（Georg Cantor）曾这样评述这种无知的保守：一旦错误的结论被广泛接受，那么它将不会轻易地被放弃，而且对它懂得越少，则它的地位越牢固。

……正如普朗克（Max Planck），这位量子力学的奠基人在本世纪初所说的：“一个新的科学真理并不是靠说服它的对手并使其看见真理之光取胜，而是由于它的对手死了，新的一代熟悉它的人成长起来了。”

然而，批评并未就此中止，魏尔在《数学和自然科学的哲学》（1949年）说，《原理》中数学的基础不仅仅是逻辑，还有一种逻辑学家的天堂，一个具有某种结构极为复杂的，“终极内涵”的宇宙……有哪个头脑现实的人会敢说他相信这个超自然的世界呢？……这个复杂的结构对我们信仰力量的压制，不亚于早期教会神父或中世纪经院哲学的教条。

拉普拉斯： 我们可以把目前的宇宙状态看做是宇宙过去的结果和将来的原因。如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动。对他来说，一切都是显然的，过去与未来都将呈现在他眼前。

……莱布尼茨指责牛顿否认了上帝的能力。实际上，莱布尼兹还指责牛顿使英国的宗教信仰日趋衰弱…… 虽然欧拉之后的许多科学家仍然相信上帝的存在，相信上帝对世界的设计，以及数学作为一门科学其主要功能是提供破译这个设计的工具，但是随着数学的进一步发展以及其后更多的发展，数学研究从神学那儿得到的启示越来越少，上帝的存在性也变得模糊起来。

贝克莱：根深蒂固的偏见也常常会演变为原理，这些性质一旦获得了原理所具有的力量和声望，不仅它自身，而且由它推出的任何结论，都会无需验证而被人们接受。

18世纪被称为数学史上的英雄时代，因为这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，用于开拓并征服了众多的科学领域。 较之于合理性，数学家们更热衷于结果的确定性。从证明的观点来看，有结果，就能产生信念，我们将很快看到，正是19世纪后期的工作使其无愧于理性时代这个名称。

根据布劳维的观点，经典的逻辑是从有限集及其子集的数学中提取出来的……忘记了这一有限的起源，人们就会错误地把逻辑看作是高于并且先于全部数学的某种东西，从而不加证明的将其运用到无限集合的数学中去。这是集合论的堕落和原罪，而悖论的出现就是其应受的惩罚