数理哲学导论

……数理逻辑所涉及的概念不用逻辑符号是不可能充分地表达出来的。……普通的文法和句法也非常容易引人入歧途……容易引起误解……散漫不精准…… 如果任何人为这本小书所引导而对数理逻辑作深刻的研究，写这本书的主要目的就算达到了。

一个语句可能对于一个函项真，而对于另一个假；例如，“我相信所有的人是有死的”可能真，而“我相信所有的有理性的动物是有死的”可能假，因为我可能误以为长生鸟是一个不死的有理性的动物。

……当我们以“$x$是有理性的动物“替换”$x$是人“时，这新函项仍然真，甚至在我误以为长生鸟是有理性的并且是不死的时候，函项仍真。

给定与 b 有关系 P 的任意一项，当自变数从下趋近于 a 时，函数 R Q-收敛于 b 的（对于 P 而言的）所有后继中。

……于是我们有了一个定理，$2^n$ 永远大于 $n$，即使 $n$ 是无穷数时也一样……

……如一分数分子与分母之和小于另一分数的分子与分母之和，则将此分数置于另一分数之前；如二分数它们的分子与分母之和相等，则将分子较小的放在前面……这个序列是一序级，所有的分数迟早在其中出现。因此，我们能够将所有的分数排入一个序级，它们的项数所以是 $\aleph_0$。

The distinction between mathematics and mathematical philosophy is one which depends upon the interest inspiring the research, and upon the stage which the research has reached; not upon the propositions with which the research is concerned.

One class is said to be similar to another when there is a one-one relation of which the one class is the domain, while the other is the converse domain

為了有一個作定義的起點，人類知識必須接受一些易明的，沒有定義的概念。

使正確的定義遲遲才發現的錯誤之一是：普通的觀念總以為數的每次推廣都包含原來的數作為一種特殊的情形。

一些性質只因我們對於它們是熟悉的，於是我們便誤以為它們超出有窮的範圍以外也是真的。

動物學既不能承認獨角獸，邏輯也應該同樣地不能承認。

一个命题函项就是一个表达式，这表达式包含了一个或多个未定成分；当我们给这些成分赋值时，这个表达式就变成了一个命题。 对于一给定主目而言，一个函项成为有意义的条件就是函项对于这主目而言有一个真值或假值的条件。逻辑中所有的初始命题都是关于某些命题函项恒真的一些断定所组成。

有一个类型，使得如Φ是一个能取一给定对象作为主目的函项，那么有一个函项ψ，ψ属于类型τ，并且和形式Φ等价。这定义是： 如果Φ中是一个能取一给定对象作主目的函项，τ是以上公理所说的一个类型，那么说由Φ决定的类有性质f，就是说，有一个函项，这函项属τ类型，和形式Φ等价，并且有性质f。

但是如像上面所举的论证是形式的，就不需依赖于其中所出现的项，这样我们可以用α替换人，以β替换有死的，并且以x替换苏格拉底，只要此处α和β是任意的两个类，x是任何一个个体。于是我们得到这样的语句：“不论x，α和β有什么可能的值，如果所有的α都是β并且x是一个α，那么x是一个β”；换句话说，“如果所有的α都是β并且x是一个α，那么x是一个β'这个命题函项恒真”。至此我们有一个逻辑的命题 这个命题在传统的关于苏格拉底，人以及有死的这个语句中仅有暗示。